Lineare Algebra I – Übungsblatt 04
Wintersemester 2024/25
Aufgabe 1.
Erinnern wir uns daran, dass eine Abbildung f : R → S ein Ringhomomorphismus ist, wenn:
1. f(1) = 1;
2. ∀ a, b ∈ R f(a + b) = f(a) + f(b);
3. ∀ a, b ∈ R f(ab) = f(a)f(b).
Sei R ein Körper und S ein Ring mit 1 ≠ 0. Beweisen Sie, dass jeder Ringhomomorphismus f : R → S injektiv ist.
Aufgabe 2.
1. Beweisen Sie, dass i,
√2 ∈ C nicht in Q liegen.
Hinweis: Beweisen Sie es durch Widerspruch.
2. Für r =
√2 oder r = i bezeichne
Q[r] = {a + br | a, b ∈ Q} ⊂ C.
Beweisen Sie, dass Q[r] ein Teilkörper von C ist.
Aufgabe 3.
Erinnern wir uns daran, dass ein kommutativer Ring R mit 1 ≠ 0 ein Integritätsbereich genannt wird, falls ∀ a, b ∈ R, wenn ab = 0 und a ≠ 0, dann b = 0.
1. Beweisen Sie, dass Z/4 kein Integritätsbereich ist.
2. Beweisen Sie, dass jeder endliche Integritätsbereich ein Körper ist.
Aufgabe 4.
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt ist, d.h. wenn ∃ g ∈ G, sodass ⟨g⟩ = G.
1. Sei G eine zyklische Gruppe, H ≤ G. Beweisen Sie, dass H auch zyklisch ist.
Hinweis: Betrachten Sie das minimale Element der Menge {n ∈ N \ 0 | gn ∈ H}.
2. Beweisen Sie, dass für n ∈ N \ {0} die Gruppe G = {z ∈ C | zn = 1} zyklisch ist.
Hinweis: Sie dürfen Aufgabe 4 aus Übungsblatt 4 aus Analysis einer Variablen verwenden.
3. Beweisen Sie, dass jede endliche Untergruppe von (C×, ·) zyklisch ist.